En la lógica clásica, los conjuntos se definen de manera estricta, en el sentido que se conoce si un elemento pertenece a este o no, se dice que tiene un límite perfectamente definido. Sin embargo, hay situaciones que ameritan relajar un poco los límites para permitir la entrada al conjunto de datos que a pesar de no cumplir a cabalidad las cualidades para pertenecer al conjunto, no están muy alejados de cumplirlas.
El primer ejemplo que utiliza Lofti A. Zadeh para ilustrar este detalle es el conjunto de “hombres altos”. La lógica clásica establece el conjunto como el formado por todos aquellos hombres de altura mayor a un cierto valor (por ejemplo 1.8m). Así, un hombre de 1.81m pertenecerá al grupo mientras que uno con una estatura de 1.79m no, lo cual no es del todo razonable pues la diferencia es mínima.
Para este tipo de situaciones, la lógica difusa asigna grados de pertenencia al conjunto entre 0 y 1. De esta manera aquel con una altura de 1.79m pertenecerá al conjunto con un grado de, digamos, 0.8, mientras que quien mide 1.81m pertenecerá con un grado mayor, digamos 0.85.
Como se puede observar los conjuntos que la lógica clásica plantea no son más que un caso extremo de los conjuntos generados con lógica difusa en el cual a aquellos datos que no cumplen la(s) condición(es) planteada se les asigna un grado de pertenencia de 0 mientras que a quienes si la(s) cumplen se les asigna un grado de 1.
El grado de pertenencia que la lógica difusa asigna está determinado por la función característica asociada al conjunto difuso; para cada valor que pueda tomar un elemento o variable de entrada x la función característica le proporciona el grado de pertenencia de este valor x al conjunto difuso A.
Los conjuntos clásicos, en un universo de discurso U, se pueden definir enumerando los elementos que a él pertenecen, nombrando las condiciones que los elementos perteneciente a este deben cumplir o en términos de la función de pertenencia así:
Teniendo esto, puede decirse que el conjunto A es matemáticamente equivalente a su función de pertenencia , ya que al conocer dicha función se pueden conocer los elementos que pertenecen a A. Además el conjunto difuso en el universo de discurso U puede representarse como un conjunto de parejas ordenadas de los valores de x y el valor que a este le asigna la función:
La forma de la función característica depende del criterio mediante el cual se solucione el problema, por lo que varía dependiendo del punto de vista del usuario. Las únicas condiciones que debe cumplir es que toma valores entre 0 y 1 y que es continua. Conceptualmente existen dos aproximaciones para determinar la función característica de un conjunto. La primera de ellas se basa en el conocimiento humano de los expertos y la segunda en utilizar una colección de datos que permitan diseñar la función.
El número de funciones características asociadas a una misma variable es decisión de quien las diseña. Un número mayor de funciones genera mayor resolución pero, asimismo, genera mayor complejidad computacional; por otra parte las funciones pueden estar solapadas, por lo que una variable puede pertenecer a más de un conjunto a la vez con distintos grados de pertenencia.
Operaciones entre conjuntos difusos:
El conjunto complemento de A está dado por la función característica:
La unión de conjuntos difusos esta dada por:
La intersección será entonces:
Las tres operaciones cumplen con la asociatividad, la conmutatividad, la distibutividad y las leyes de Morgan. Sin embargo, los conjuntos difusos no cumplen con el principio de contradicción ni con el principio de exclusión , lo que los diferencia significativamente de los conjuntos clásicos.
El primer ejemplo que utiliza Lofti A. Zadeh para ilustrar este detalle es el conjunto de “hombres altos”. La lógica clásica establece el conjunto como el formado por todos aquellos hombres de altura mayor a un cierto valor (por ejemplo 1.8m). Así, un hombre de 1.81m pertenecerá al grupo mientras que uno con una estatura de 1.79m no, lo cual no es del todo razonable pues la diferencia es mínima.
Para este tipo de situaciones, la lógica difusa asigna grados de pertenencia al conjunto entre 0 y 1. De esta manera aquel con una altura de 1.79m pertenecerá al conjunto con un grado de, digamos, 0.8, mientras que quien mide 1.81m pertenecerá con un grado mayor, digamos 0.85.
Como se puede observar los conjuntos que la lógica clásica plantea no son más que un caso extremo de los conjuntos generados con lógica difusa en el cual a aquellos datos que no cumplen la(s) condición(es) planteada se les asigna un grado de pertenencia de 0 mientras que a quienes si la(s) cumplen se les asigna un grado de 1.
El grado de pertenencia que la lógica difusa asigna está determinado por la función característica asociada al conjunto difuso; para cada valor que pueda tomar un elemento o variable de entrada x la función característica
Los conjuntos clásicos, en un universo de discurso U, se pueden definir enumerando los elementos que a él pertenecen, nombrando las condiciones que los elementos perteneciente a este deben cumplir o en términos de la función de pertenencia así:
Teniendo esto, puede decirse que el conjunto A es matemáticamente equivalente a su función de pertenencia
El número de funciones características asociadas a una misma variable es decisión de quien las diseña. Un número mayor de funciones genera mayor resolución pero, asimismo, genera mayor complejidad computacional; por otra parte las funciones pueden estar solapadas, por lo que una variable puede pertenecer a más de un conjunto a la vez con distintos grados de pertenencia.
Operaciones entre conjuntos difusos:
El conjunto complemento de A está dado por la función característica:
La intersección será entonces: